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PackingSquaresWithTriangles-author.rar - 三角形排样。What is the smallest square that contains n equilateral triangles of side length 1? This Demonstration shows the first ten best packings found so far. The first eight were found by Erich Friedman in 1996, the case with nine triangles by Maurizio Morandi in 2008, and the case with ten triangles by David Cantrell in 2002.
PackingSquaresWithSide1N-author.rar - 矩形内排样。A finite volume of potatoes will fit in a finite sack. This seemingly simple statement leads to a family of very difficult questions, sometimes called potato sack problems.Consider squares with sides 1/2, 1/3,1/4, \[Ellipsis], 1/n. What is the smallest rectangle that can contain the squares as n-> \[Infinity]? One bound is \!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(n = 2\), \(\[Infinity]\)] \*FractionBox[\(1\), SuperscriptBox[\(n\), \(2\)]]\)=\[Pi]^2/6-1, but no one has found a packing for a rectangle of that area. In 1968, Meir and Moser showed that a square of size 5/6*5/6 was enough. The current record is held by Marc Paulhus, who developed the packing algorithm used for
PackingSpheresIntoAThinCylinder-author.rar - 排样在球体与长柱体内。When R=r, the spheres are packed in a straight line. The polygonal line joining the centers zigzags as the tube radius R increases until R=1/2 (2+Sqrt[3])r, at which point the spheres are stacked in two columns. As R increases, these columns twist into a helix until R=2r. Next, the spheres are arranged in parallel sets of two, each set oriented 90\[Degree] from the previous. These compress, briefly shift to a more dense packing of sets of three, then revert to sets of two until they form four columns of spheres. These columns twist, then switch back to sets of three, briefly interrupted by arrangements of sets of five, and then the sets of three twist until they end forming sets of hexagons at R=3r.
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